Teorema: Todo entero n>1 puede ser escrito como producto de primos, esta representación es única salvo por el orden de sus factores. Demostración: Todo número n>1 o es primo o es compuesto, si es primo no hay nada que hacer, de lo contrario n tiene un divisor d tal que 1<d<n. Por el principio del buen orden podemos suponer que d es el menor. Entonces d tiene que ser primo, de lo contrario este tendría un divisor positivo mayor que 1 que es menor que d y que también es divisor de n, contradiciendo la minimalidad de d. Podemos entonces escribir n=p1n1 con p1 primo y 1<n1<n. Si n1 es primo, entonces hemos terminado, si no podemos repetir el proceso y existe un primo p2 tal que n1=p2n2 y n=p1p2n2 con 1<n2<n1<n. Si n2 es primo, hemos terminado, de lo contrario continuamos con el proceso o obtenemos una sucesión descendiente 1
n>n1>n2>⋯>1
que no puede continuar indefinidamente. Entonces, después de nu número finito de pasos tenemos que 2
n=p1p2⋯pr.
Para ver que esta expresión es única (salvo orden) entonces supongamos que tenemos dos expresiones tal que: 3
n=p1p2⋯pr=q1q2⋯qsr≤s
con los p′is,q′js primos. Como p1∣q1⋯qs entonces p1=qj para algún j. Renombrado si es necesario podemos suponer que p1=q1. Dividiendo entre p1=q1 obtenemos que 4
p2p3⋯pr=q2q3⋯qsr≤s.
Repetimos el argumento r veces. Si r<s entonces qr+1⋯qs=1 no es posible, por lo tanto r=s y hemos terminado la prueba.
Notemos que muchos de los primos en la factorización de n pueden no ser distintos, por ejemplo 100==(2)(2)(5)(5). Corolario: Para todo entero n>1 podemos escribir de manera única (5)
n=pα11pα22⋯pαrr
con las αi≥1, cada pi primo y p1<p2<⋯<pr.
Tenemos que mencionar que existen diversas estructuras algebraicas que tienen una noción de primo y que la factorización en primos no es única!!!. Por ejemplo el conjunto 2Z de los números pares. Un número es 2-primo si no es el producto de dos enteros pares. Entonces 2,6, 10,… son 2-primos y 4,8,12… no lo son. En este caso 60=2(30)=6(10). El problema está en que los números 2-primos no satisfacen el criterio de divisibilidad que gozan los primos pues 6∣2(30) pero 6∤2 ni 6∤30 en 2Z. Teorema (Pitagoras) El número real 2√ no es racional.
